Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是斜邊BC的中點．
（1）如圖①，若點E，F分別在邊AB，AC上，且AE=CF，連接DE，DF，EF，觀察，猜想△DEF是否為等腰直角三角形，并證明你的猜想．
（2）如圖②，若點E，F分別在邊AB，CA的延長線上，且AE=CF，連接DE，DF，EF，那么（1）中所得到的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明你的理由．

Answer 1

解：（1）△DEF為等腰直角三角形．
證明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵點D是斜邊BC的中點，
∴AD是BC邊上的中線．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=∠C
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形；

（2）成立．
證明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵點D是斜邊BC的中點，
∴AD是BC邊上的中線．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD=∠C，
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADB=90°
∴△DEF為等腰直角三角形．
分析：（1）利用等腰直角三角形的性質得出DA=DC，∠BAD=∠CAD=∠C進而得出△ADE≌△CDF（SAS），即可得出△DEF為等腰直角三角形；
（2）首先利用已知得出AD=DC，進而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD，進而得出答案．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的判定與性質，根據已知得出△ADE≌△CDF是解題關鍵．