Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2．射線AM、BN為半圓O的切線．在AM上取一點D，連接BD交半圓于點C，連接AC．過O點作BC的垂線OE，垂足為點E，與BN相交于點F．過D點作半圓O的切線DP，切點為P，與BN相交于點Q．
（1）求證：△ABC∽△OFB；
（2）當△ABD與△BFO的面枳相等時，求BQ的長；
（3）求證：當D在AM上移動時（A點除外），點Q始終是線段BF的中點．

Answer 1

分析：（1）根據OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，進而得出∠BCA=∠FBO=90°，從而證明結論；
（2）根據△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，從而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；
（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，進而得出DQ²=QK²+DK²，得出BF=2BQ，即可得出Q為BF的中點．

解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，即：AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圓的切線，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ABC∽△OFB．

（2）解：連接OP，
由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠BCA=∠FBO=90°，
∵AM、BN是⊙O的切線，
∴∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
∴當△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO，
∴AD=OB=1，
∵DP切圓O，DA切圓O，
∴DP=DA，
∵△ABD≌△BFO，
∴DA=BO=PO=DP，
又∵∠DAO=∠DPO=90°，
∴四邊形AOPD是正方形，
∴DQ∥AB，
∴四邊形ABQD是矩形，
∴BQ=AD=1；

（3）證明：由（2）知，△ABD∽△BFO，
∴

BF

OB

=

AB

AD

，
∴BF=

OB•AB

AD

=

1×2

AD

=

2

AD

，
∵DP是半圓O的切線，射線AM、BN為半圓O的切線，
∴AD=DP，QB=QP，
過Q點作AM的垂線QK，垂足為K，在Rt△DQK中，
DQ²=QK²+DK²，
∴（AD+BQ）²=（AD-BQ）²+2²．
∴BQ=

1

AD

，
∴BF=2BQ，
∴Q為BF的中點．

點評：此題主要考查了切線的性質以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知識，熟練利用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．