Question

已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作CD⊥AB于點D．
（1）當點E為DB上任意一點（點D、B除外）時，連接CE并延長交⊙O于點F，AF與CD的延長線交于點G（如圖①）．
求證：AC²=AG•AF．
（2）李明證明（1）的結論后，又作了以下探究：當點E為AD上任意一點（點A、D除外）時，連接CE并延長交⊙O于點F，連接AF并延長與CD的延長線在圓外交于點G，CG與⊙O相交于點H（如圖②）．連接FH后，他驚奇地發現∠GFH=∠AFC．根據這一條件，可證GF•GA=GH•GC．請你幫李明給出證明．
（3）當點E為AB的延長線上或反向延長線上任意一點（點A、B除外）時，如圖③、④所示，還有許多結論成立．請你根據圖③或圖④再寫出兩個類似問題（1）、（2）的結論（兩角、兩弧、兩線段相等或不相等的關系除外）（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）延長CG交⊙O于H，根據垂徑定理求出∠ACH=∠AFC，證△AGC∽△ACF即可；
（2）根據垂徑定理求出∠ACG=∠GFH，證△GFH∽△GCA即可推出答案；
（3）證△ACD∽△ABC∽△CDB，根據相似三角形的性質即可推出結論；證△ADG∽△AFB即可．

解答：（1）證明：延長CG交⊙O于H，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CH，弧CA=弧AH，
∴∠ACH=∠AFC，
又∠CAG=∠FAC，
∴△AGC∽△ACF，
∴

AG

AC

=

AC

AF

，
即AC²=AG•AF．

（2）證明：∵CH⊥AB，
∴弧AC=弧AH，
∴∠AFC=∠ACG
又∠AFC=∠GFH，
∴∠ACG=∠GFH，
 又∠G=∠G，
∴△GFH∽△GCA，
∴

GF

GC

=

GH

GA

，
∴GF•GA=GC•GH．

（3）答：CD²=AD•DB，AC²=AD•AB；EF•EC=EA•EB，AF•GA=AD•AB．

點評：本題主要考查對垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．