Question

請嘗試解決以下問題：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．

感悟解題方法，并完成下列填空：

將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，

 

 

由旋轉可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，點G，B，F在同一條直線上．

∵∠EAF=45°  ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_________．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF．

（2）運用（1）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：

如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一點，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的長．

 

 

（2）類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，若∆ABC固定不動，∆AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合)，在旋轉過程中，等式BD+CE=DE始終成立，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)EAF、△EAF、GF                                              

 (2) 過A作AG⊥BC，交BC延長線于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠C＝∠D＝90°，

又∠CGA＝90°，AD＝CD，

∴四邊形AGCD 為正方形．                                              

∴CG＝AD＝10．

已知∠BAE＝45°，

根據（1）可知，BE＝GB＋DE．                     

設BE＝x，則BG＝x－4，

∴BC＝14－x．

在Rt△BCE中，   ∵，即．      

解這個方程，得：x＝．

∴BE＝．                                                          

（3）證明:如下圖,將∆ACE繞點A順時針旋轉90°至∆ABH的位置，      

則CE=HB,AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°.                

連接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.

∴∆EAD≌∆HAD   ∴DH=DE                                       

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°  ∴BD+HB=DH

即BD+CE=DE                       

【解析】（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；

（2）過A作AG⊥BC，交BC延長線于G，由正方形的性質得出CG=AD=10，再運用勾股定理和方程求出BE的長；

（3）運用旋轉性質和勾股定理判斷說明等式成立．