Question

已知關于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整數，求整數k的值．

Answer 1

分析：分兩種情況：①如果k²-1=0，則為一元一次方程，分別求出方程的根；②如果k²-1≠0，則為一元二次方程，根據方程有實數根，得出判別式△≥0，再利用方程兩根分別為x₁，x₂，由韋達定理，得出k的取值范圍，即可得出答案．

解答：解：分兩種情況：
①如果k²-1=0，那么k=±1．
當k=1時，原方程即為-12x+72=0，x=6，解是正整數，符合題意；
當k=-1時，原方程即為24x+72=0，x=-3，解不是正整數，不符合題意；
②如果k²-1≠0，那么原方程為一元二次方程．
∵關于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整數，
∴方程有實數根，判別式△≥0，
[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72≥0，
整理，得：k²-6k+9≥0，
（k-3）²≥0．
設方程兩根分別為x₁，x₂，由韋達定理，得
x₁+x₂=

6(3k-1)

k2-1

＞0，
解得k＞1或-1＜k＜

1

3

，
x₁x₂=

72

k2-1

＞0，
k＞1或k＜-1．
綜上，得k＞1，
∵

72

k2-1

為整數，∴k²-1可以為1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
∵k為整數，∴k²-1可以為3，8，24，
∵

6(3k-1)

k2-1

為整數，
∴k=2，3．
，綜上，可知整數k的值1，2，3．

點評：此題主要考查了一元二次方程的整數根與有理根，根據題意利用根與系數的關系以及根的判別式得出是解決問題的關鍵．