Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似？若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線與x軸的交點，即當y=0，C點坐標即當x=0，分別令y以及x為0求出A，B，C坐標的值；
（2）四邊形ACBP的面積=△ABC+△ABP，由A，B，C三點的坐標，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，則可求出△ABC的面積，根據已知可求出P點坐標，可知AP的長度，以及點B到直線的距離，從而求出△ABP的面積，則就求出四邊形ACBP的面積；
（3）假設存在這樣的點M，兩個三角形相似，根據題意以及上兩題可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需證明或即可．設M點坐標，根據題中所給條件可求出線段AG，CA，MG，CA的長度，然后列等式，分情況討論，求解．
解答：解：（1）令y=0，
得x²-1=0
解得x=±1，
令x=0，得y=-1
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2分）

（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°．
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°．
過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形，
令OE=a，則PE=a+1，
∴P（a，a+1）．
∵點P在拋物線y=x²-1上，
∴a+1=a²-1．
解得a₁=2，a₂=-1（不合題意，舍去）．
∴PE=3（4分）．
∴四邊形ACBP的面積S=AB•OC+AB•PE
=×2×1+×2×3=4；（6分）

（3）假設存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC
∵MG⊥x軸于點G，
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3（7分）
設M點的橫坐標為m，則M（m，m²-1）
①點M在y軸左側時，則m＜-1．

（ⅰ）當△AMG∽△PCA時，有．
∵AG=-m-1，MG=m²-1．
即
解得m₁=-1（舍去）m₂=（舍去）．
（ⅱ）當△MAG∽△PCA時有，
即．
解得：m=-1（舍去）m₂=-2．
∴M（-2，3）（10分）．
②點M在y軸右側時，則m＞1

（ⅰ）當△AMG∽△PCA時有
∵AG=m+1，MG=m²-1
∴
解得m₁=-1（舍去）m₂=．
∴M（，）．
（ⅱ）當△MAG∽△PCA時有，
即．
解得：m₁=-1（舍去）m₂=4，
∴M（4，15）．
∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為（-2，3），（，），（4，15）．（13分）
點評：考查拋物線與數軸交點求解問題，以及拋物線與三角形，四邊形之間關系轉換問題，相似三角形問題，要特別注意在第三問時要分情況討論．