Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（0A＜OB）是方程x²-18x+72=0的兩個根，點C是線段AB的中點，點D在線段OC上，OD=2CD．
（1）求點C的坐標；
（2）求直線AD的解析式；
（3）P是直線AD上的點，在平面內是否存在點Q，使以0、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（0A＜OB）是方程x²-18x+72=0的兩個根，所以解這個方程即可得到OA=6，OB=12．又因點C是線段AB的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知OC=AC．可作CE⊥x軸于點E，利用等腰三角形的三線合一可得，OE=OA=3，所以CE是三角形的中位線，CE=OB=6．得出點C的坐標；
（2）要求直線AD的解析式，需求出D的坐標．可作DF⊥x軸于點F，因為CE⊥x軸，所以可得△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4，從而求得點D的坐標．設直線AD的解析式為y=kx+b，把A、D的坐標代入，利用方程組即可求解；
（3）由（2）中D的坐標可知，DA=AF=4，所以∠OAD=45°，因為以O、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形，所以需分情況討論：
若P在x軸上方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．過P作PM⊥x軸，因為∠OAD=45°，利用三角函數可求出PM=AM=3，OM=6-3，即P（6-3，3），得出Q的橫坐標為6-3-6=-3，Q₁（-3，3）；若P在x軸下方，OAPQ是菱形，則PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．過P作PM⊥x軸，因為∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函數可求出PM=AM=3，OM=6+3，即P（6+3，-3），得出Q的橫坐標為6+3-6=3，Q₂（3，-3）；若Q在x軸上方，OAQP是菱形，則∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此時OAQP是正方形．又因正方形邊長為6，所以此時Q（6，6）；若Q在x軸下方，OPAQ是菱形，則∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此時OPAQ是正方形．又因正方形對角線為6，由正方形的對稱性可得Q（3，-3）．
解答：解：（1）方程x²-18x+72=0，因式分解得：（x-6）（x-12）=0，
解得：x₁=6，x₂=12，即OA=6，OB=12，
在直角三角形OAB中，點C是斜邊AB的中點，
∴OC=AC=AB．
作CE⊥x軸于點E．則CE∥OB，點C為中點，
∴E為OA的中點，CE為△OAB的中位線，
∴OE=OA=3，CE=OB=6．
∴點C的坐標為（3，6）；

（2）作DF⊥x軸于點F．
△OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．
∴點D的坐標為（2，4）．
設直線AD的解析式為y=kx+b．
把A（6，0），D（2，4）代入得
解得
∴直線AD的解析式為y=-x+6；

（3）存在．如圖：分為P在x軸上方和P在x軸下方兩種情況，
Q₁（-3，3）；（1分）
Q₂（3，-3）；（1分）
Q₃（3，-3）；（1分）
Q₄（6，6）．
點評：本題主要考查了利用待定系數法求函數的解析式、分情況求點的坐標，而解決這類問題常用到分類討論、數形結合、方程和轉化等數學思想方法．