Question

（2009•花都區二模）已知二次函數y=x²-（2k+4）x+k²-4，且此函數圖象與x軸有兩個交點A、B．
（1）求k的取值范圍；
（2）若線段AB的長度為4，求此函數的關系式；
（3）如圖，若（2）中的函數圖象與y軸的交點為C，點P為該拋物線上位于y軸右邊的點，且∠PCO為銳角，試比較∠ACO與∠PCO的大小（不必證明），并寫出相應的點P橫坐標x_p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函數與x軸有兩個交點，那么當y=0時，得出的關于x的二元一次方程就應該有兩個解，即△=（2k+4）²-4×（k₂-4）＞0，由此可得出k的取值范圍．
（2）A，B的長度為4，也就是（1）中得出的方程的兩個根的差的絕對值為4．那么可根據|AB|2=16，得出兩根的差的平方為16，然后將完全平方差公式轉換成完全平方和公式，從而可求出k值．進而可得出函數的關系式．
（3）可先作一個和∠ACO相等的角，然后以此角為參照進行比較．作點A關于y軸的對稱點A’
作射線CA’，則∠ACO=∠A’CO，故求得直線CA’與拋物線的交點為P，此時x_p=5，∠ACO=∠PCO，則當x_p＞5時，∠ACO＞∠PCO；又∠PCO為銳角，作CC’平行x軸，則∠C’CO為直角，且C’為點C關于拋物線對稱軸的對稱點，故其坐標為C’（2，-3），所以當2＜x_p＜5時，∠ACO＜∠PCO．當x_p＞5時，∠ACO＞∠PCO．當x_p=5時，∠ACO=∠PCO．
解答：解：
（1）令y=0，則x²-（2k+4）x+k²-4=0
因函數圖象與x軸有兩個交點，
故此方程有兩個不相等的實數根
∴（2k+4）²-4（k₂-4）＞0
∴k＞-2；

（2）設方程x²-（2k+4）x+k²-4=0的兩根為x₁和x₂，
則x₁+x₂=2k+4，x₁•x₂=k²-4
∵AB=4，
故|x₁-x₂|=4
∴（x₁-x₂）²=16
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16
∴（2k+4）²-4（k²-4）=16
解得：k=-1
由（1）得k＞-2，故k=-1符合題意．
∴函數關系式為y=x²-2x-3；

（3）當x_p＞5時，∠ACO＞∠PCO；
當x_p=5時，∠ACO=∠PCO；
當2＜x_p＜5時，∠ACO＜∠PCO．
點評：本題主要考查了二次函數的應用以及二次函數與二元一次方程的關系，根據根與系數的關系得出函數的解析式是解題的關鍵．