Question

如圖，點O是△ABC的垂心（垂心即三角形三條高所在直線的交點），連接AO交CB的延長線于點D，連接CO交AB的延長線于點E，連接DE．求證：△ODE∽△OCA．

Answer 1

分析：欲證△ODE∽△OCA，通過觀察發現兩個三角形已經具備一組角對應相等，即∠O=∠O，可證△AEO∽△CDO，證得夾此對應角的兩邊對應成比例即可．

解答：證明：∵O是垂心，
∴AO⊥CD，
∴∠CDO=90°，
同理∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠CDO，（3分）
在△AEO和△CDO中

∠AEO=∠CDO ∠O=∠O

，
∴△AEO∽△CDO，（3分）
∴

OE

OD

=

OA

OC

，
∴

OE

OA

=

OD

OC

，（2分）
在△ODE和△OCA中

OE OA = OD OC ∠O=∠O

，
∴△ODE∽△OCA．（2分）

點評：本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊成比例、對應角相等．