Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=-2x+b（b≥0）的位置隨b的不同取值而變化．
（1）已知⊙M的圓心坐標為（4，2），半徑為2．
當b=______時，直線l：y=-2x+b（b≥0）經過圓心M；
當b=______

Answer 1

【答案】分析：（1）①當直線經過圓心M（4，2）時，將圓心坐標代入直線解析式，即可求得b的值；
②當若直線與⊙M相切，如答圖1所示，應有兩條符合條件的切線，不要遺漏．
欲求此時b的值，可以先求出切點P的坐標，代入解析式即可；欲求切點P的坐標，可以構造相似三角形△PMN∽△BAO，求得PN=2MN，然后在Rt△PMN中利用勾股定理求出MN和PN，最后求出P點坐標；
（2）本問關鍵是弄清直線掃過矩形ABCD的運動過程，可以分為五個階段，分別求出每一階段S的表達式，如答圖2-4所示．
解答：解：（1）①直線l：y=-2x+b（b≥0）經過圓心M（4，2）時，則有：2=-2×4+b，∴b=10；
②若直線l：y=-2x+b（b≥0）與⊙M相切，如答圖1所示，應有兩條符合條件的切線．
設直線與x軸、y軸交于A、B點，則A（，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由題意，可知⊙M與x軸相切，設切點為D，連接MD；
設直線與⊙M的一個切點為P，連接MP并延長交x軸于點G；
過P點作PN⊥MD于點N，PH⊥x軸于點H．
易證△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM²=PN²+MN²，解得：MN=，PN=，
∴PH=ND=MD-MN=2-，OH=OD-HD=OD-PN=4-，
∴P（4-，2-），代入直線解析式求得：b=10-2；
同理，當切線位于另外一側時，可求得：b=10+2．

（2）由題意，可知矩形ABCD頂點D的坐標為（2，2）．
由一次函數(shù)的性質可知，當b由小到大變化時，直線l：y=-2x+b（b≥0）向右平移，依次掃過矩形ABCD的不同部分．
可得當直線經過A（2，0）時，b=4；當直線經過D（2，2）時，b=6；當直線經過B（6，0）時，b=12；當直線經過C（6，2）時，b=14．
①當0≤b≤4時，S=0；
②當4＜b≤6時，如答圖2所示．
設直線l：y=-2x+b與x軸交于點P，與AD交于點Q．
令y=0，可得x=，∴AP=-2；
令x=2，可得y=b-4，∴AQ=b-4．
∴S=S_△APQ=AP•AQ=（-2）（b-4）=b²-2b+4；
③當6＜b≤12時，如答圖3所示．
設直線l：y=-2x+b與x軸交于點P，與CD交于點Q．
令y=0，可得x=，∴AP=-2；
令y=2，可得x=-1，∴DQ=-3．
S=S_梯形APQD=（DQ+AP）•AD=b-5；
④當12＜b≤14時，如答圖4所示．
設直線l：y=-2x+b與BC交于點P，與CD交于點Q．
令x=6，可得y=b-12，∴BP=b-12，CP=14-b；
令y=2，可得x=-1，∴DQ=-3，CQ=7-．
S=S_矩形ABCD-S_△PQC=8-CP•CQ=b²+7b-41；
⑤當b＞14時，S=S_矩形ABCD=8．
綜上所述，當b由小到大變化時，S與b的函數(shù)關系式為：
．
點評：本題是動線型壓軸題，綜合考查了一次函數(shù)的圖象與性質、圓的切線性質、相似三角形、矩形、梯形、勾股定理以及圖形面積等重要知識點，涉及的考點較多，難度較大，對同學們的解題能力提出了很高的要求．本題的難點在于：（I）第（1）②問中，圓的切線有兩條，容易遺漏．求切點坐標時候，注意運用相似關系化簡運算；（II）第（2）問中，動直線的運動過程分析是難點，注意劃分為五個階段，分別求出每個階段S的表達式．