Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O在原點。

（1）如圖①，點C的坐標為（，），且實數，滿足，求C點的坐標及線段0C的長度；

（2）如圖②，點F在BC上，AB交x軸于點E，EF，OC的延長線交于點G，EG=OG，求∠EOF的度數；

（3）如圖③，將（1）中正方形OABC繞點O順時針旋轉，使OA落在y軸上，E為AB上任意一點，OE的垂直平分線交x軸于點G，交OE于點P,連接EG交BC于點F，求△BEF的周長。

Answer 1

【答案】（1） （2）45°（3）2

【解析】分析：（1）根據非負數的性質和二次根式有意義的條件可得b=3，a=-1，即可的點C的坐標，再由勾股定理求得OC的長；（2）過點O作OH⊥EF于H，證明△OEA≌△OEH和 Rt△OHF≌Rt△OCF，根據全等三角形的性質可得∠3=∠4，∠5=∠6，又因∠3+∠4+∠5+∠6=∠AOC=90°，即可求得∠EOF=45°；（3）過點O作OH⊥EF于H,連OF，證明△OEA≌△OEH和Rt△OHF≌Rt△OCF，根據全等三角形的性質可得AE=EH，OH=OA，HF=FC，即可得△BEF的周長=BE+EH+HF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC=2.

詳解:

（1）∵b-3≥0,3-b≥0，

∴b=3，a=-1，

∴C（-1,3）.

過C作CD垂直y軸于點D，則OD=3，DC=1，

∴OC=；

（2）過點O作OH⊥EF于H，

∵四邊形OABC是正方形，

∴OA=OC，∠A=∠7=∠AOC=90°，AB∥CO，

∴∠2=∠COE又EG=OG，

∴∠1=∠COE，

∴∠1=∠2，

又OH⊥EF，

∴∠9=∠8=∠A=90°，

∴在△OEA和△OEH中，

，

∴△OEA≌△OEH（AAS），

∴∠3=∠4，OH=OA；

又OA=OC，

∴OH=OC，

又∠9=∠7=90°，

∴在Rt△OHF和Rt△OCF中，

，

∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL），

∴∠5=∠6，

又∠3+∠4+∠5+∠6=∠AOC=90°，

∴2∠4+2∠5=90°，

即∠4+∠5=45°，

即∠EOF=45°；

（3）過點O作OH⊥EF于H,連OF，

∵四邊形OABC是正方形，

∴OA=OC，∠10=∠7=∠AOC=90°，AB∥CO，

∴∠2=∠COE又PG垂直平分OE，

∴EG=OG，

∴∠1=∠COE，

∴∠1=∠2 ，

又OH⊥EF，

∴∠9=∠8=∠10=90°，

∴在△OEA和△OEH中，

∴△OEA≌△OEH（AAS）；

∴AE=EH，OH=OA，

又OA=OC，

∴OH=OC，

又∠9=∠7=90°，

∴在Rt△OHF和Rt△OCF中，

，

∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL）；

∴HF=FC，

∴△BEF的周長=BE+EH+HF+BF

=BE+AE+CF+BF

=AB+BC

=2.