Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn).

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；（用含有的代數(shù)式表示）

（2）連接.

①若平分，求二次函數(shù)的表達(dá)式；

②連接，若平分，求二次函數(shù)的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②

【解析】

（1）令y=0，解關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值，進(jìn)而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；把拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）①如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則易得點(diǎn)C的坐標(biāo)與CF的長，利用BH的長和∠B的正切可求出HE的長，進(jìn)而可得DE的長，由題意和平行線的性質(zhì)易推得，然后可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值，進(jìn)而可得答案；

（3）如圖2，過點(diǎn)B作BK∥y軸，過點(diǎn)C作CK∥x軸交BK于點(diǎn)K，交DH于點(diǎn)G，連接AE，利用銳角三角函數(shù)、拋物線的對(duì)稱性和等腰三角形的性質(zhì)可推出，進(jìn)而可得，然后利用勾股定理可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m，問題即得解決.

解：（1）令y=0，則，

解得：，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

故答案為：，；

（2）①如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則，，DF=m，CF=，

∵平分，

∴∠BCO=∠BCD，

∵DH∥OC，

∴∠BCO=∠DEC，

∴∠BCD=∠DEC，

∴，

∵，BH=2m，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得：（舍去），

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為：；

②如圖2，過點(diǎn)B作BK∥y軸，過點(diǎn)C作CK∥x軸交BK于點(diǎn)K，交DH于點(diǎn)G，連接AE，

∵，

∴，

∴，

∵EA=EB，

∴∠3=∠4，

又∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

即，

解得：（舍去），

∴二次函數(shù)的關(guān)系式為：.