Question

（2009•豐臺區一模）如圖1，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=4，將矩形紙片沿對角線AC向下翻折，點D落在點D′處，連接B D′，如圖2，求線段BD′的長．

Answer 1

【答案】分析：先設AD和BC交于點O，△AD′C和△ADC關于AC對稱，可得CD=CD′=AB，利用勾股定理，可求AC，那么sin∠ACB=，有∠ACB=30°，∠BAC=60°，就有∠BAO=∠D′AC=∠ACB=∠D′CB=30°，根據圖形可得△ABO≌△CD′O，可得，OB=OD′，所以∠OBD=∠OD′B，而∠AOC=∠BOD′，于是∠OBD′=∠OD′B=30°，就有∠AD′B=∠BAD′=30°，從而可得BD′=AB=4．
解答：解：設AD′交BC于O，
方法一：
過點B作BE⊥AD′于E，
矩形ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∠B=∠D=∠BAD=90°，
在Rt△ABC中，
∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=60°，∴∠DAC=90°-∠BAC=30°，（2分）
∵將△ACD沿對角線AC向下翻折，得到△ACD′，
∴AD′=AD=BC=，∠1=∠DAC=30°，
∴∠4=∠BAC-∠1=30°，
又在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴BE=2，（4分）
∴AE=，∴D′E=AD′-AE=，
∴AE=D′E，即BE垂直平分AD′，∴BD′=AB=4．（5分）

方法二：
矩形ABCD中，∵AD∥BC，AD=BC，∠B=∠D=90°，∴∠ACB=∠DAC，
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=60°，∴∠ACB=90°-∠BAC=30°，（2分）
∵將△ACD沿對角線AC向下翻折，得到△ACD′，
∴AD=AD′=BC，∠1=∠DAC=∠ACB=30°，
∴OA=OC，
∴OD′=OB，∴∠2=∠3，
∵∠BOA=∠1+∠ACB=60°，∠2+∠3=∠BOA，
∴∠2=∠BOA=30°，（4分）
∵∠4=∠BAC-∠1=30°，
∴∠2=∠4，
∴BD′=AB=4．（5分）
點評：本題利用了折疊的圖形全等，勾股定理，反三角函數，全等三角形的判定和性質．