Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B，且12a+5c=0．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點C移動．
①移動開始后第t秒時，設S=PQ²（cm²），試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
②當S取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）據題意知：A（0，-2），B（2，-2）
∵A點在拋物線上，
∴c=-2
∵12a+5c=0，
∴a=

5

6

（1分）
由AB=2知拋物線的對稱軸為：x=1
即：-

b

2a

=1，b=-

5

3

∴拋物線的解析式為：y=

5

6

x²-

5

3

x-2．（3分）

（2）①由圖象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²（4分）
即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）．（5分）
②假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴S=5（t-

4

5

）²+

4

5

（0≤t≤1），
∴當t=

4

5

時，S取得最小值

4

5

．（6分）
這時PB=2-

8

5

=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）．（7分）
分情況討論：
（A）假設R在BQ的右邊，這時QR=∥PB，則：
R的橫坐標為2.4，R的縱坐標為-1.2，即（2.4，-1.2），
代入y=

5

6

x²-

5

3

x-2，左右兩邊相等，
∴這時存在R（2.4，-1.2）滿足題意．（8分）
（B）假設R在BQ的左邊，這時PR=∥QB，
則：R的橫坐標為1.6，縱坐標為-1.2，即（1.6，-1.2）
代入y=

5

6

x²-

5

3

x-2，左右兩邊不相等，R不在拋物線上．（9分）
（C）假設R在PB的下方，這時PR=∥QB，
則：R（1.6，-2.8）代入y=

5

6

x²-

5

3

x-2，左右不相等，R不在拋物線上．
綜上所述，存在一點R（2.4，-1.2）滿足題意．（10分）