Question

(本題12分) 如果一個正整數(shù)能夠表示為兩個連續(xù)的偶數(shù)的平方差,那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”.如4=2²－0²；12=4²－2²；20=6²－4².因此4、12、20這三個數(shù)都是神秘數(shù).
(1)請你寫出50以內(nèi)的兩個神秘數(shù)（除4、12、20外），并判斷2012是否是神秘數(shù)？（不要說明理由）
(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2+2和2 (其中為非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎?說明理由.
(3)試說明：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))不是神秘數(shù).

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得      ……
所以50以內(nèi)的神秘數(shù)有28，36等。
設(shè)，解得k=251
即 所以2012是神秘的數(shù)。
（2）因為所以由兩個連續(xù)偶數(shù)2k+2和2k的平方差構(gòu)成的神秘數(shù)是4的倍數(shù)。
（3）設(shè)2k+1和2k-1是兩個連續(xù)的奇數(shù)，則
即兩個連續(xù)的奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，所以肯定是4的倍數(shù)，根據(jù)（2）的結(jié)論是4的倍數(shù)就可以寫成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，所以兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差也是神秘的數(shù)。