Question

（2012•江寧區二模）如圖，在直角坐標系中，已知點A（-1，0）、B（0，2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC．
（1）點C的坐標為

（-3，1）

；
（2）若二次函數y=

1

2

x²-ax-2的圖象經過點C．
①求二次函數y=

1

2

x²-ax-2的關系式；
②當-1≤x≤4時，直接寫出函數值y對應的取值范圍；
③在此二次函數的圖象上是否存在點P（點C除外），使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點C作CD⊥x軸于點D，然后利用“角角邊”證明△ABO和△CAD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=BO，CD=AO，然后求出OD，再根據點C在第二象限，寫出點C坐標即可；
（2）①把點C的坐標代入二次函數解析式求出a的值即可得解；
②把二次函數解析式整理成頂點式形式，然后根據二次函數的增減性求出最大值與最小值，即可得到函數值y的取值范圍；
③分點A是直角頂點時求出點P的坐標，點B是直角頂點時求出點P的坐標，然后驗證是否在二次函數圖象上即可．

解答：解：（1）過點C作CD⊥x軸于點D，
∵旋轉角為90°，
∴∠BAO+∠CAD=180°-90°=90°，
又∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAD=∠ABO，
在△ABO和△CAD中，
∵

∠CAD=∠ABO ∠AOB=∠CDA=90° AC=AB

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=AO+AD=1+2=3，
∴點C的坐標為（-3，1）；

（2）①∵二次函數y=

1

2

x²-ax-2的圖象經過點C（-3，1），
∴

1

2

×（-3）²-（-3）a-2=1，
解得a=-

1

2

，
故二次函數的關系式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

②∵y=

1

2

x²+

1

2

x-2=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴當-1≤x≤4時，x=-

1

2

時取得最小值y=-

17

8

，
x=4時，取得最大值y=

1

2

（4+

1

2

）²-

17

8

=8，
所以，函數值y的取值范圍為：-

17

8

≤y≤8；

③（i） 當A為直角頂點時，延長CA至點P₁，使AP₁=AC=AB，則△ABP₁是以AB為直角邊的等腰直角三角形，過點P₁作P₁E⊥x軸，
∵AP₁=AC，∠EAP₁=∠DAC，∠P₁EA=∠CDA=90°，
∴△EP₁A≌△DCA，
∴AE=AD=2，EP₁=CD=1，
∴可求得P₁的坐標為（1，-1），
經檢驗點P₁在二次函數的圖象上；
（ii） 當B點為直角頂點時，過點B作直線L⊥BA，在直線L上分別取BP₂=BP₃=AB，得到以AB為直角邊的等腰直角△ABP₂和等腰直角△ABP₃，
作P₂F⊥y軸，同理可證△BP₂F≌△ABO，
則P₂F=BO=2，BF=OA=1，
可得點P₂的坐標為（2，1），
經檢驗P₂點在二次函數的圖象上，
同理可得點P₃的坐標為（-2，3），
經檢驗P₃點不在二次函數的圖象上．
綜上所述：二次函數的圖象上存在點P₁（1，-1），P₂（2，1）兩點，使得△ABP₁和△ABP₂是以AB為直角邊的等腰直角三角形．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了旋轉變換的旋轉，全等三角形的判定與性質，待定系數法求二次函數解析式，二次函數的最值問題，二次函數的增減性以及等腰直角三角形的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，綜合性較強，但難度不是很大，要注意分情況討論．