Question

【題目】如圖所示，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，且CD//AB，連接AC，AD，OD，其中AC=CD，過點B的切線交CD的延長線于E．
（1）求證：DA平分∠CDO；
（2）若AB=12，求圖中陰影部分圖形的周長（結果精確到1，參考數據：π=3.1， =1.4， =1.7）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD//AB，

∴∠CDA=∠DAO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠CDA=∠ADO，

∴DA平分∠CDO

（2）解：∵AC=CD，

∴∠CDA=∠CAD，

∵∠CDA=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC//OD，

又∵AC=CD，CD//AB，

∴四邊形AODC是菱形，

∴OA=AC，

連接OC，∵AB=12，

∴OA=AC=OC=6，

∴∠CAO=60°，

作CF⊥AB于點F，

∴CF=ACsin60°=6× =3 ，AF=ACcos60°=3，

∵EB⊥AB，CD//AB，

則BE=CF=3 ，DE=AB﹣AF﹣CD=12﹣3﹣6=3，

∵∠CAO=60°，AC//DO，

∴∠CAO=∠DOB=60°，

∴ ，

∴圖中陰影部分圖形的周長是： =2π+3 +3=2×3.1+3×1.7+3≈14．

【解析】（1）要求DA平分∠CDO，只要求得∠CDA=∠ADO成立即可，根據題目中的條件，可以得到∠CDA=∠ADO，從而可以解答本題；（2）圖中陰影部分圖形的周長是BE+DE+ 的長，根據（1）中的結論和題目中的條件，可以求得BE+DE+ 的長，從而可以解答本題．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理和弧長計算公式，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的即可以解答此題．