Question

（2001•陜西）如圖，在直角坐標系xoy中，一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）已知OC⊥AB于C，求C點坐標；
（2）在x軸上是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，所以分別令x=0，y=0，可求得B、A的坐標，從而求出OA=，OB=2，AB=4，因為OC⊥AB于C，利用射影定理可得AO²=AC•AB，所以，要求C點坐標，需作CD⊥x軸于D，證明△ACD∽△ABO，利用相似三角形對應邊的比等于相似比即可得到，代入相關數據即可求出，AD=，而，從而求出C點坐標為（，）；
（2）要在x軸上尋找點P，使△PAB為等腰三角形，需分情況討論：
若PB=AB=4，則P和A關于y軸對稱，所以有，0）；
若PA=PB，設P（x，0），利用兩點間的距離公式可得（x+2）²=x²+（0-2）²，解之可得，0）；
因為A（-2，0），若PA=PB=4，則，0），，0）．
解答：解：（1），令x=0，
得y=2，令y=0，得，
∴A點坐標是（，0），B點坐標是（0，2），
∴OA=，OB=2，AB=4，
在△AOB中，∵∠AOB=90°，OC⊥AB于C，
∴AO²=AC•AB，
∴，
作CD⊥x軸于D，則∠ADC=∠AOB=90°，又∠CAD=∠BAO，
∴△ACD∽△ABO，
∴，
∴，
∴，AD=，
∴，
∴C點坐標為（，）；

（2）存在滿足條件的點P，
，0），，0），，0），，0）．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形、分類討論來解決問題．