Question

（2007•南京）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合），且∠BEF=120°，設(shè)AE=x，DF=y．
（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形的性質(zhì)知，∠A=∠D，利用等量代換求得∠ABE=∠DEF，有△ABE∽△DEF，可得．從而得到y(tǒng)與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）通過(guò)配方，把得到的函數(shù)表達(dá)式寫成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求得最值．
解答：解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，
∴∠A=∠D=120°，
∴∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°．
∵∠BEF=120°，∴∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，
∴∠ABE=∠DEF．∴△ABE∽△DEF．
∴．
∵AE=x，DF=y，∴．
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式是y=•x（6-x）=-x²+x；

（2）y=-x²+x=-（x-3）²+．
∴當(dāng)x=3時(shí)，y有最大值，最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，及二次函數(shù)的性質(zhì)求解．