Question

如圖1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長.
小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換如圖1.她分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，得到四邊形AEGF是正方形.設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值.

（1）請你幫小萍求出x的值.
(2)  參考小萍的思路，探究并解答新問題：
如圖2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.請你按照小萍的方法畫圖,得到四邊形AEGF，求△BGC的周長.（畫圖所用字母與圖1中的字母對應）

Answer 1

解： （1）設AD=x，由題意得，BG=x－2，CG=x-3.
在Rt△BCG中，由勾股定理可得 .
解得 .          --------------2分
（2）參考小萍的做法得到四邊形AEGF，∠EAF=60°，
∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG= 90°，AE=AF=AD=4.
連結EF，可得 △AEF為等邊三角形.
∴ EF=4.
∴ ∠FEG=∠EFG= 30°.
∴ EG="FG."
在△EFG中，可求，.
∴△EFG的周長＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=. --------------5分

解析