Question

請閱讀材料：
①一般地，n個相同的因數a相乘：

a•a…•a

n個

記為aⁿ，如2•2•2=2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為log₂8 （即log₂8=log₂2³=3）．  
②一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為log_ab（即log_ab=log_aaⁿ=n），如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log₃81（即log₃81=log₃3⁴=4）．
（1）計算下列各對數的值：
log₂4=

2

；log₂16=

4

；log₂64=

6

．
（2）觀察（1）題中的三數，4，16，64之間存在怎樣的關系式

4×16=64

log₂4，log₂16，log₂64又存在怎樣的關系式．

log₂4+log₂16=log₂64

（3）由（2）題猜想 log_aM+log_aN=

log_aMN

（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并結合冪的運算法則：a^m•aⁿ=a^m+n加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據對數的定義，確定每個式子中對應的b是a的幾次方，則式子的值就是幾；
（2）根據4×16=64，即可寫出關系式；
（3）根據（2）的結果即可直接寫出結論，然后根據同底數的冪的乘法法則，證明log_aa^m+log_aaⁿ=log_aa^m•aⁿ，即可證得．

解答：（1）解：∵4=2²，16=2⁴，64=2⁶，
∴log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6；

（2）解：4，16，64之間存在怎樣的關系式：4×16=64；
又∵2+4=6，
∴log₂4，log₂16，log₂64存在怎樣的關系式：log₂4+log₂16=log₂64；

（3）log_aM+log_aN=log_aMN，
證明：∵a^m•aⁿ=a^m+n，
∴log_aa^m•aⁿ=log_aa^m+n=m+n，
∵log_aa^m+log_aaⁿ=m+n，
∴log_aa^m+log_aaⁿ=log_aa^m•aⁿ，
設M=a^m，N=aⁿ，
則log_aM+log_aN=log_aMN．
故答案是：（1）2；4；6；

（2）解：4×16=64；
log₂4+log₂16=log₂64；
log_aMN

點評：本題考查了冪的運算，正確理解題目中給出的對數的定義是關鍵．