Question

探究題：已知：1-

1

2

=

1

1×2

，

1

2

-

1

3

=

1

2×3

，

1

3

-

1

4

=

1

3×4

…
（1）觀察上面式子的規律，請你猜測并寫出第五項；
（2）上述的規律用一般的式子可以表示為：

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n為正整數）；試證明它的正確性；
（3）請直接用上述的結果計算

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

x(x+1)

（x為正整數）的值．

Answer 1

分析：（1）先總結出通項公式

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n為正整數）；
（2）先通分，再進行分式的加減．
（3）利用上面的規律，將原式分解成分數和的形式，再進行加減即可．

解答：解：（1）∵1-

1

2

=

1

1×2

，

1

2

-

1

3

=

1

2×3

，

1

3

-

1

4

=

1

3×4

…
∴第五項：

1

5

-

1

6

=

1

5×6

；

（2）左邊=

1

n

-

1

n+1

，
=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

，
=

n+1-n

n(n+1)

，
=

1

n(n+1)

，
∵左邊=右邊，
∴

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

（n為正整數）；

（3）原式=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

x

-

1

x+1

，
=

1

2

-

1

x+1

，
=

x+1-2

2(x+1)

，
=

x-1

2(x+1)

．

點評：本題是一個找規律的題目，考查了分式的加減，找出通項公式是解題的關鍵．