Question

（2009•蒼南縣一模）如圖，在直角梯形OABC中，OA∥BC，∠B=90°，OA=6，AB=4，BC=3，以O為原點，以OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，動點P從原點O出發，沿O?C?B?A的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q也從原點出發，在線段OA上以每秒1個單位長的速度向點A運動，點P、Q同時出發，當點Q運動到點A時，點P隨之停止運動，設運動的時間為t（秒）．
（1）求點C的坐標和線段OC的長；
（2）設△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（3）當點P在線段CB上運動時，是否存在以C、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求線段OC的長和點C的坐標，只要從C作CD⊥OA交OA于D，利用正方形的性質就可讀出點C的坐標及求出CD，OD長，然后利用勾股定理求OC的長．
（2）設△OPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；就要利用三角形的面積公式計算．要計算三角形的面積就又要利用速度公式計算出三角形的底和高，然后利用面積公式計算．注意計算面積時，要根據點P的位置，分情況而計算．
（3）不存在，因為當點P運動在CB上時，CQ≥4，PQ≥4，CP≤3，要證明可先設一假設，證明假設不成立．
解答：解：（1）過C作CD⊥OA交OA于D，
∵CD=AB=4，AD=BC=3，
∴OD=OA-AD=3，（2分）
∴點C的坐標為（3，4）（1分），
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC=5．（1分）

（2）①當點P在OC上，即0≤t≤時，
過P作PH⊥OA于點H，則PH∥CD，
∴△OPH∽△OCD，
∴，即，
∴PH=，
∴S=（2分）；
②當點P在CB上，即≤t≤4時，
∴S=．（2分）
③當點P在BA上，即4≤t≤6時，
∴S=．（2分）

（3）不存在（1分）
當點P運動在CB上時，CQ≥4，PQ≥4，CP≤3，
假設CB上存在點P使△CPQ為等腰三角形，則CQ=PQ，
過Q作QG⊥BC交BC于G，則CG=PG=DQ，
∴2t-5=2（t-3），
∴-5=-6，不成立，
∴假設不成立，
∴當P點運動在線段CB上時，不存在以C，P，Q，
三點為頂點的三角形是等腰三角形．（3分）
點評：本題綜合考查了正方形，梯形和直角坐標系以及二次函數的綜合應用．