Question

（1）閱讀理解：配方法是中學數學的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
對于任意正實數a、b，可作如下變形a+b=(

a

)2+(

b

)2=(

a

)2+(

b

)2-2

ab

+2

ab

=(

a

-

b

)2+2

ab

，
又∵(

a

-

b

)2≥0，∴(

a

-

b

)2+2

ab

≥0+2

ab

，即a+b≥2

ab

．
根據上述內容，回答下列問題：在a+b≥2

ab

（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，當且僅當a、b滿足

 

時，a+b有最小值2

p

．
（2）思考驗證：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，CO為AB邊上中線，AD=2a，DB=2b，試根據圖形驗證a+b≥2

ab

成立，并指出等號成立時的條件．
（3）探索應用：如圖2，已知A為反比例函數y=

4

x

的圖象上一點，A點的橫坐標為1，將一塊三角板的直角頂點放在A處旋轉，保持兩直角邊始終與x軸交于兩點D、E，F（0，-3）為y軸上一點，連接DF、EF，求四邊形ADFE面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）有給出的材料可知a=b時；
（2）因為AD=2a，DB=2b，所以AB=2a+2b，CO為中線，所以CO=a+b，再利用射影定理得CD=

AD•DB

=2

ab

，在直角三角形COD中斜邊大于直角邊即CO＞CD，問題得證；
（3）把A點的橫坐標為1，代入函數y=

4

x

得，y=4，由（2）知：當DH=EH時，DE最小，此時S_{四邊形ADFE}=

1

2

×8×（4+3）=28．

解答：解：（1）a=b

（2）由已知得CO=a+b，CD=2

ab

，
CO≥CD，即a+b≥2

ab

．
當D與O重合時或a=b時，等式成立．

（3）S_{四邊形ADFE}=S_△ADE+S_△FDE
=

1

2

DE•|yA|+

1

2

DE•OF=

1

2

DE(|yA|+OF)，
當DE最小時S_{四邊形ADFE}最小．
過A作AH⊥x軸，由（2）知：當DH=EH時，DE最小，
在RT△ADE中，AH=

1

2

DE，
∴DE=2AH=2×4=8，
∴DE最小值為8，
此時S_{四邊形ADFE}=

1

2

×8×（4+3）=28．

點評：本題考查了反比例函數的綜合運用：利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數解析式，反過來如果這點滿足函數的解析式，那么這個點也一定在函數圖象上．還能利用圖象直接比較函數值或是自變量的大小．將數形結合在一起，是分析解決問題的一種好方法．