Question

【題目】如圖，已知D，E分別為△ABC的邊AB，BC上兩點，點A，C，E在⊙D上，點B，D在⊙E上．F為上一點，連接FE并延長交AC的延長線于點N，交AB于點M．

（1）若∠EBD為α，請將∠CAD用含α的代數式表示；

（2）若EM=MB，請說明當∠CAD為多少度時，直線EF為⊙D的切線；

（3）在（2）的條件下，若AD=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）45°；（3）2+

【解析】

（1）根據同圓的半徑相等和等邊對等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根據三角形內角和定理可得結論；

（2）設∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根據切線的性質知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根據三角形內角和定理可得∠CAD=45°；

（3）由（2）得：∠CAD=45°；根據（1）的結論計算∠MBE=30°，證明△CDE是等邊三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根據三角形內角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化簡可得結論．

（1）連接CD、DE，

在⊙E中，∵ED=EB，

∴∠EDB=∠EBD=α，

∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，

在⊙D中，∵DC=DE=AD，

∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，

△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，

∴∠CAD==；

（2）設∠MBE=x，

∵EM=MB，

∴∠EMB=∠MBE=x，

當EF為⊙D的切線時，∠DEF=90°，

∴∠CED+∠MEB=90°，

∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，

△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，

∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，

∴∠CAD=45°；

（3）由（2）得：∠CAD=45°；

由（1）得：∠CAD=；

∴∠MBE=30°，

∴∠CED=2∠MBE=60°，

∵CD=DE，

∴△CDE是等邊三角形，

∴CD=CE=DE=EF=AD=，

Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，

∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，

△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，

△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，

∴∠CNE=75°，

∴∠CNE=∠NCB=75°，

∴EN=CE=，

∴===2+．