Question

（2010•遵義）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，-1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上的一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．
（1）求該拋物線的函數關系式；
（2）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標；
（3）在題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標，可將拋物線的解析式設為頂點式，然后將函數圖象經過的C點坐標代入上式中，即可求出拋物線的解析式；
（2）由于PD∥y軸，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考慮兩種情況：
①以點P為直角頂點，此時AP⊥DP，此時P點位于x軸上（即與B點重合），由此可求出P點的坐標；
②以點A為直角頂點，易知OA=OC，則∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此時D、P關于x軸對稱，可求出直線AC的解析式，然后設D、P的橫坐標，根據拋物線和直線AC的解析式表示出D、P的縱坐標，由于兩點關于x軸對稱，則縱坐標互為相反數，可據此求出P點的坐標；
（3）很顯然當P、B重合時，不能構成以A、P、E、F為頂點的四邊形，因為點P、F都在拋物線上，且點P為拋物線的頂點，所以PF與x軸不平行，所以只有（2）②的一種情況符合題意，由②知此時P、Q重合；假設存在符合條件的平行四邊形，那么根據平行四邊形的性質知：P、F的縱坐標互為相反數，可據此求出F點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出F點的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點為Q（2，-1），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
將C（0，3）代入上式，得：
3=a（0-2）²-1，a=1；
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）分兩種情況：
①當點P₁為直角頂點時，點P₁與點B重合；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3；
∵點A在點B的右邊，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P₁（1，0）；
②當點A為△AP₂D₂的直角頂點時；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD₂=45°；
當∠D₂AP₂=90°時，∠OAP₂=45°，
∴AO平分∠D₂AP₂；
又∵P₂D₂∥y軸，
∴P₂D₂⊥AO，
∴P₂、D₂關于x軸對稱；
設直線AC的函數關系式為y=kx+b（k≠0）．
將A（3，0），C（0，3）代入上式得：
，
解得；
∴y=-x+3；
設D₂（x，-x+3），P₂（x，x²-4x+3），
則有：（-x+3）+（x²-4x+3）=0，
即x²-5x+6=0；
解得x₁=2，x₂=3（舍去）；
∴當x=2時，y=x²-4x+3=2²-4×2+3=-1；
∴P₂的坐標為P₂（2，-1）（即為拋物線頂點）．
∴P點坐標為P₁（1，0），P₂（2，-1）；

（3）由（2）知，當P點的坐標為P₁（1，0）時，不能構成平行四邊形；
當點P的坐標為P₂（2，-1）（即頂點Q）時，
平移直線AP交x軸于點E，交拋物線于F；
∵P（2，-1），
∴可設F（x，1）；
∴x²-4x+3=1，
解得x₁=2-，x₂=2+；
∴符合條件的F點有兩個，
即F₁（2-，1），F₂（2+，1）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、直角三角形的判定、平行四邊形的判定和性質等重要知識點，同時還考查了分類討論的數學思想，能力要求較高，難度較大．