Question

如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，且．△AMN為等腰直角三角形，斜邊AN與CD交于點F，延長AN與BC的延長線交于點E，連接MF、CN，作NG⊥BE，垂足為G，下列結論：①△ABM≌△MGN；②△CNG為等腰直角三角形；③MN=EN；④S_△ABM=S_△CEN；⑤BM+DF=MF．其中正確的個數為

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

C
分析：①利用等腰直角三角形的性質，互余關系可證△ABM≌△MGN；②由①的結論推出NG=CG即可；③由已知BM=BC，設AB=BC=3x，則MG=MC+CG=BC=3x，CG=NG=x，由NG∥AB得△EGN∽△EBA，利用相似比證明MG≠EG即可；④分別求兩個三角形的底和高，再比較面積；⑤利用旋轉法將△AMB繞A點逆時針旋轉90°到△AHD的位置，證明△AHF≌△AMF即可．
解答：①∵△AMN為等腰三角形，∴AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMG=∠MNG，又∠B=∠NGM=90°，
∴△ABM≌△MGN，正確；
②由△ABM≌△MGN，得NG=BM，而CG=MG-MC=AB-MC=BC-MC=BM，∴NG=CG，
又∠CNG=90°，∴△CNG為等腰直角三角形，正確；
③設AB=BC=3x，則MG=MC+CG=BC=3x，CG=NG=x，
由NG∥AB得△EGN∽△EBA，
∴==，EG=BG=2x，MG≠EG，故MN≠EN，錯誤；
④由③可知AB=CE=3x，又BM=NG，
∴S_△ABM=S_△CEN，正確；
⑤如圖，延長CD到H，使DH=BM，可證△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，∠BAM=∠DAH，
∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAM+∠DAF=90°-∠MAF=90°-45°=45°，
又AF=AF，
∴△AHF≌△AMF，
∴HF=MF，即BM+DF=MF，正確．
正確的有四個．
故選C．
點評：本題考查了三角形全等，三角形相似的判定與性質，特殊三角形的判定，正方形的性質．關鍵是明確線段之間的關系．