Question

（2008•無錫）已知拋物線y=ax²-2x+c與它的對稱軸相交于點A（1，-4），與y軸交于C，與x軸正半軸交于B．
（1）求這條拋物線的函數關系式；
（2）設直線AC交x軸于D，P是線段AD上一動點（P點異于A，D），過P作PE∥x軸交直線AB于E，過E作EF⊥x軸于F，求當四邊形OPEF的面積等于時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知拋物線的頂點就是A點，因此可將A的坐標代入拋物線的解析式中，并根據對稱軸x==1，聯立方程組即可求出a，c的值，進而可得出拋物線的解析式．
（2）四邊形OPEF是個直角梯形，可先求出AD，AB所在直線的解析式，根據AD所在直線的解析式設出P的坐標，又由于PE∥x軸，P、E兩點的縱坐標相同，然后根據AB所在直線的解析式得出E點的坐標，進而可求出F點的坐標．根據求出的P、E、F三點坐標，可得出梯形的上下底OF、EP的長以及直角梯形的高EF的長（即E點縱坐標的絕對值），根據梯形的面積公式即可得出關于梯形的面積與P點坐標的函數解析式，然后將S=代入函數中即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）由題意，知點A（1，-4）是拋物線的頂點，
∴
∴a=1，c=-3，
∴拋物線的函數關系式為y=x²-2x-3．

（2）由（1）知，點C的坐標是（0，-3）．
設直線AC的函數關系式為y=kx+b，
則
∴b=-3，k=-1，
∴y=-x-3．
由y=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標是（3，0）．
設直線AB的函數關系式是y=mx+n，
則解得m=2，n=-6．
∴直線AB的函數關系式是y=2x-6．
設P點坐標為（x_P，y_P），則y_P=-x_P-3．
∵PE∥x軸，
∴E點的縱坐標也是-x_P-3．
設E點坐標為（x_E，y_E），
∵點E在直線AB上，
∴-x_P-3=2x_E-6，
∴x_E=．
∵EF⊥x軸，
∴F點的坐標為（，0），
∴PE=x_E-x_P=，OF=，EF=-（-x_P-3）=x_P+3，
∴S_{四邊形OPEF}=（PE+OF）•EF=（+）•（x_P+3）=，
2x_P²+3x_P-2=0，
∴x_P=-2，，
當y=0時，x=-3，
而-3＜-2＜1，，
∴P點坐標為和（-2，-1）
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式及二次函數的綜合應用．