Question

如果三個(gè)完全平方數(shù)之和能被9整除，那么可以從這三個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)來，使得這兩個(gè)完全平立數(shù)之差也能被9整除．

Answer 1

分析：利用分類討論的方法，首先根據(jù)同余理論，任何一個(gè)整數(shù)總可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4這九種情況中的一種．然后將其分別平方，即可得到：任何一個(gè)完全平方數(shù)被9除的余數(shù)只可能是0，1，4，7這四種情況之一．又由所選的三個(gè)完全平方數(shù)之和能被9整除，所以可得是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}這四種情況中的一種．從而得證這兩個(gè)余數(shù)相同的完全平方數(shù)之差就一定能被9整除．

解答：解：下面我們先來討論任意的完全平方數(shù)被9除的余數(shù)．
根據(jù)同余理論，我們知道，任何一個(gè)整數(shù)總可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4這九種情況中的一種．
現(xiàn)在將這九種情況分別平方，于是可得：（9k）²=9×9k²+0；（9k±1）²=9（9k²±2k）+1；
（9k±2）²=9（9k²±4）+4；（9k±3）²=9（9k²±6k+1）+0及（9k±4）²=9（9k²±8k+1）+7．
可見，任何一個(gè)完全平方數(shù)被9除的余數(shù)只可能是0，1，4，7這四種情況之一．
另一方面，由于所選的三個(gè)完全平方數(shù)之和能被9整除，因此這三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和也一定能被9整除；而從0、1、4、7這四個(gè)數(shù)中選出三個(gè)，其和要能被9整除，只可能是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}這四種情況中的一種．
而在上面這四種可能的余數(shù)組合中，每一組都至多有兩種余數(shù)，因此至少有兩個(gè)完全平方數(shù)被所9除的余數(shù)相同，從而這兩個(gè)余數(shù)相同的完全平方數(shù)之差就一定能被9整除．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽屜原理的應(yīng)用，難度較大，關(guān)鍵是分類討論法的應(yīng)用，這種方法經(jīng)常在證明時(shí)使用，同學(xué)們要注意掌握．