Question

如圖，有兩條筆直的公路（BD和EF，其寬度不計）從一塊矩形的土地ABCD中穿過，已知：EF是BD的垂直平分線，有BD=400m，EF=300m，求這塊矩形土地ABCD的面積．

Answer 1

解：連接DE，BF．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．∠ODF=∠OBE
∵EF垂直平分BD，
∴OD=OB
∴△DOF≌△BOE（ASA）
∴DF=BE
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∵EF垂直平分BD，
FD=FB（線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）
∴平行四邊形BFDE是菱形
∴DF=BF=DE=EB，OE=OF．
在Rt△DOF中，DF=+=250，
∴S_菱形DEBF=BD•EF=DF•BC
∴×400×300=250•BC
∴BC=240
在Rt△BCF中FC===70，
∴CD=DF+FC=250+70=320，
∴S_矩形ABCD=CD•BC=320×240=76800m²
答：這塊矩形土地ABCD的面積為76800m²．
分析：先根據△DOF≌△BOE中的等量關系與菱形的判定定理判定平行四邊形BFDE是菱形，再利用Rt△DOF中的勾股定理求出DF=250，利用菱形的面積作為等量關系求出矩形的寬BC=240，利用Rt△BCF中勾股定理求FC===70，最后利用矩形的面積公式求面積即可．
點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質在菱形，平行四邊形中的運用．本題的解題關鍵是掌握菱形的性質和面積的兩種求法以及線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等這些基本性質的靈活運用．