Question

【題目】已知：如圖，在中，度．是上一點，以為圓心、為半徑的圓與交于點，與切于點，，．設是線段上的動點（與、不重合），．

求的長；

求為何值時，以、、為頂點的三角形是等腰三角形；

在點的運動過程中，與的外接圓能否相切？若能，請證明；若不能，請說明理由；

請再提出一個與動點有關的數學問題，并直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）BE= 3；（2）當x等于2、、 時，△APD是等腰三角形；（3）PD與△PBC的外接圓不能相切，理由見解析；（4）答案不唯一，詳見解析.

【解析】

（1）根據切線長定理即可解題；（2）根據不同的頂點分類討論即可解題；（3）利用三邊關系解題即可；（4）答案不唯一,見詳解.

（1）∵AD與⊙O相切于點D，

∴AD2=AEAB；

由AD=2，AE=1，得AB=4；

∴BE=AB-AE=3；

（2）①以A為頂角頂點時，AP1=AD=2，x=BP1=BA-P1A=2；

②以P為頂角頂點時，作AD的垂直平分線P2F交AB于P2；

連接OD，則OD⊥AD，且OD∥P2F；

∴P2A=OA=x=BA-P2A=；

③以D為頂角頂點時，DP3=DA=2，過D作DM⊥AB于M，則DM∥BC；

由BC2+AB2=（AD+DC）2，得BC=DC=3，AM=，AP3=2AM=，

∴x=BA-P3A=2AM=，

綜上所述，當x等于2、、時，△APD是等腰三角形；

（3）PD與△PBC的外接圓不能相切；

理由：假設PD與△PBC的外接圓相切，

則PD⊥PC，

在Rt△PBC中，PC＞BC（直角三角形中，斜邊大于直角邊）

在Rt△PCD中，CD＞PC（直角三角形中，斜邊大于直角邊）

而BC=CD，與上面的矛盾，所以，不存在．

（4）答案不唯一，如：

①x為何值時，以P、D、A為頂點的三角形與△ABC相似；

答：當x=或時，以P、D、A為頂點的三角形與△ABC相似．

②當x為何值時，PD+PC的和最小；

答：當x=時，PD+PC的和最小．