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(2009•臨沂)如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC⊥BD于點O,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分別為E,F,設AD=a,BC=b,則四邊形AEFD的周長是( )

A.3a+b
B.2(a+b)
C.2b+a
D.4a+b
【答案】分析:過D作DG∥AC,交BC的延長線于點G,根據等腰梯形的性質可求得BE的長,根據平行四邊形的性質及等腰三角形的性質可得到四邊形ACGD是平行四邊形,△BDG,△DFG分別是等腰直角三角形,再根據周長公式即可求得四邊形AEFD的周長.
解答:解:根據題意,先作如圖所示的輔助線,
由四邊形ABCD是等腰梯形,可得AC=BD,且AD=EF=a,BE=FC==
作DG∥AC,交BC的延長線于G.
∵AD∥BC,AC∥DG
∴四邊形ACGD是平行四邊形
∴AD=CG=a,DG=AC=BD
∵BD⊥AC,AC∥DG
∴BD⊥DG
在△BDG中,BD⊥DG,BD=DG
∴△BDG是等腰直角三角形
∴∠G=45°
在△DFG中,∠G=45°,∠DFG=90°
∴△DFG是等腰直角三角形
∴DF=FG=FC+CG=+a
由題意易得四邊形AEFD是矩形,故其周長為2(AD+DF)=2(a++a)=3a+b.
故選A.
點評:本題以等腰梯形為載體,綜合考查了等腰直角三角形、平行四邊形、矩形的性質和判定以及等腰梯形的性質和最基本輔助線作法,知識聯系強.
練習冊系列答案
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