Question

（2006•泰安）如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F，連接AF，CE．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若∠BAD的平分線與FC的延長線交于點G，則△ACG是等腰三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可證四邊形AECF為平行四邊形；
（2）因為AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，從而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．
解答：（1）證明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
∴四邊形AECF為平行四邊形．

（2）解：△ACG是等腰三角形．
理由如下：∵AE∥FG，
∴∠G=∠GAE．
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG．
又OA=AC=BD=OD，
∴∠ODA=∠DAO．
∵∠BAE與∠ABE互余，∠ADB與∠ABD互余，
∴∠BAE=∠ADE．
∴∠BAE=∠DAO，
∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，
∴△CAG是等腰三角形．
點評：本題考查三角形全等的性質和判定方法以及等腰三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．