Question

已知：如圖，四邊形ABCD中AC、BD相于點(diǎn)O，AB=AC，AB⊥AC，BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC于E，OA=1．
（1）求OC的長(zhǎng)；
（2）求證：BO=2CD．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC，
∴OE=OA=1，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∵OE⊥BC，
∴△OEC為等腰直角三角形，
∴OC==；

證明：（2）Rt△ABO中，AB=AC=1+，AO=1，
BO==，
易得，△AOB∽△DOC，
=，
即=，
CD==，
則2CD=，
可得BO=2CD．
分析：（1）由于BD平分∠ABC且BD⊥CD，OE⊥BC，可知O為∠ABC平分線上的一點(diǎn)，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，求出OE的長(zhǎng)，由于△ABC為等腰直角三角形，故知∠BCA=45°，∠CBA=45°，可知△OEC為等腰直角三角形，利用勾股定理可求出OC的長(zhǎng)；
（2）在直角三角形ABO中，由于AB=AC=1+，AO=1，利用勾股定理求出BO的長(zhǎng)，易得，△AOB∽△DOC，
利用相似三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)，即可得出BO=2CD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，要注意計(jì)算過(guò)程中無(wú)理數(shù)的相關(guān)計(jì)算法則．