Question

【題目】已知等腰三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在直徑為10的⊙O上，如果圓心O到BC的距離為3，那么三角形ABC的面積為_________.

Answer 1

【答案】8或32或30.72（）

【解析】

此題分情況考慮：①當(dāng)BC是底邊，△ABC是銳角三角形時(shí)；②當(dāng)BC是底邊，△ABC是鈍角三角形時(shí)；③當(dāng)BC是腰時(shí)；分別根據(jù)勾股定理和垂徑定理求出等腰三角形的底邊長(zhǎng)和底邊上的高，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解：分情況討論：

①當(dāng)BC是底邊，△ABC是銳角三角形時(shí)，連接AO并延長(zhǎng)到BC于點(diǎn)D，如圖1，

∵AB＝AC，O為外心，

∴AD⊥BC，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴AD＝5＋3＝8，BC＝2BD＝8，

∴三角形ABC的面積＝×8×8＝32；

②當(dāng)BC是底邊，△ABC是鈍角三角形時(shí)，連接AO交BC于點(diǎn)D，如圖2所示，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴AD＝53＝2，BC＝2BD＝8，

∴三角形ABC的面積＝×2×8＝8，

③當(dāng)BC是腰時(shí)，連接BO并延長(zhǎng)到AC于點(diǎn)E，作OD⊥BC于點(diǎn)D，如圖3所示，

在Rt△BOD中，OB＝5，OD＝3，

∴BD＝，

∴BC＝2BD＝8，

設(shè)OE=x，

在Rt△COE中，，

在Rt△BCE中，，

∴，

解得：，

∴，，

∴

∴三角形ABC的面積＝，

故答案為：8或32或．