Question

【題目】已知⊙O中，弦AB＝AC，∠BAC＝120°

（1）如圖①，若AB＝3，求⊙O的半徑．

（2）如圖②，點P是∠BAC所對弧上一動點，連接PB、PA、PC，試請判斷PA、PB、PC之間的數量關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）PB+PC＝PA，見解析

【解析】

（1）連接OA、OB、OC，如圖1，證明△OAB≌△OAC得到∠OAB＝∠OAC，則∠OAB＝∠OAC＝60°，然后判斷△OAB為等邊三角形得到OA＝AB＝3；

（2）把△ACB繞點A順時針旋轉120°得到△ABQ，如圖2，則AQ＝AP，BQ＝PC，∠ABQ＝∠C，∠QAP＝120°，再判斷點P、B、Q共線，作AH⊥PQ于H，如圖2，則QH＝PH，利用余弦的定義得到，從而得到．

解：（1）連接OA、OB、OC，如圖1，

∵AB＝AC，OA＝OB＝OC，

∴△OAB≌△OAC（SSS），

∴∠OAB＝∠OAC，

而∠BAC＝120°，

∴∠OAB＝∠OAC＝60°，

∴△OAB為等邊三角形，

∴OA＝AB＝3，

即⊙O的半徑為3；

（2）PB+PC＝PA．

理由如下：

∵AB＝AC，∠BAC＝120°

∴把△ACB繞點A順時針旋轉120°得到△ABQ，如圖2，

∴AQ＝AP，BQ＝PC，∠ABQ＝∠C，∠QAP＝120°，

∵∠ABP+∠C＝180°，

∴∠ABP+∠ABQ＝180°，

∴點P、B、Q共線，

作AH⊥PQ于H，如圖2，則QH＝PH，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．