Question

（2013•石景山區一模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以AC為邊向右側作等邊三角形ACD．
（1）如圖1，將線段AB繞點A逆時針旋轉60°，得到線段AB₁，聯結DB₁，則與DB₁長度相等的線段為

BC

 （直接寫出結論）；
（2）如圖2，若P是線段BC上任意一點（不與點C重合），點P繞點A逆時針旋轉60°得到點Q，求∠ADQ的度數；
（3）畫圖并探究：若P是直線BC上任意一點（不與點C重合），點P繞點A逆時針旋轉60°得到點Q，是否存在點P，使得以A、C、Q、D、為頂點的四邊形是梯形，若存在，請指出點P的位置，并求出PC的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質得出，DB₁長度相等的線段為BC；
（2）首先根據全等三角形的判定方法得出△PAC≌△QAD，進而得出∠ADQ的度數；
（3）分別利用當AD∥CQ時，當AQ∥CD時，利用梯形的性質分別求出即可．

解答：解：（1）將線段AB繞點A逆時針旋轉60°，得到線段AB₁，聯結DB₁，則與DB₁長度相等的線段為BC；
故答案為：BC；

（2）由作圖知AP=AQ，∠PAQ=60°
∵△ACD是等邊三角形．
∴AC=AD，∠CAD=60°=∠PAQ，
∴∠PAC=∠QAD，
在△PAC和△QAD中

AP=AQ ∠PAC=∠QAD AC=AD

，
∴△PAC≌△QAD（SAS），
∴∠ADQ=∠ACP=90°；

（3）如圖3，同①可證△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
當AD∥CQ時，∠CQD=180°-∠ADQ=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠QDC=30°，
∵CD=AC=2，
∴CQ=1，DQ=

3

，
∴PC=DQ=

3

且CQ≠AD，
∴此時四邊形ACQD是梯形．
如圖4，同理可證△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
當AQ∥CD時，∠QAD=∠ADC=60°，∠AQD=30°，
∵AD=AC=2，
∴AQ=4，DQ=2

3

，
∴PC=DQ=2

3

，
此時DQ與AC不平行，四邊形ACDQ是梯形．
綜上所述，這樣的點P有兩個，分別在C點兩側，
當P點在C點左側時，PC=

3

；當P點在C點右側時，PC=2

3

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及旋轉的性質和梯形的性質等知識，利用分類討論得出是解題關鍵．