Question

已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分別以OB、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，F是邊BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數（k＞0）的圖象與AC邊交于點E.
（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等.
（2）記S＝S_△OEF－S_△ECF，求當k為何值時，S有最大值，最大值為多少？
（3）請探索：是否存在這樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，請直接寫出點F的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明：設E（x₁，y₁）,F(x₂，y₂)，△AOE和△FOB的面積分別為S₁、S₂，

由題意得，
∴，　
∴S₁＝S₂　，即△AOE和△FOB的面積相等.
（2）由題意知：E、F兩點坐標分別為E（，3）、F（4，）
S_△ECF＝EC·CF＝（4－）（3－）
S_△EDF＝S_矩形AOBC－S_△AOE－S_△ECF＝12－k－k－S_△ECF
S＝S_△OEF－S_△ECF＝12－k－2 S_△ECF
＝12－k－2×（4－）（3－）
S＝k²+k，
當k=6時，S有最大值3．
（3）存在符合條件的點F，它的坐標為（4，）

解析