Question

如圖，在?ABCD中，延長CD到E，使DE=CD，連接BE交AD于點F，交AC于點G．
（1）求證：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AE、BD、根據AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四邊形ABDE，即可推出答案；
（2）在BC上截取BN=AB=1，連接AN，推出△ANB是等邊三角形，求出CN=1=AN，根據三角形的內角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，根據△AGB∽△CGE，得出==，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根據平行四邊形BDEA求出BF，即可求出答案．
解答：（1）證明：連接BD、AE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AF=DF．

（2）解：在BC上截取BN=AB=1，連接AN，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB是等邊三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=×60°=30°，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AC==，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△AGB∽△CGE，
∴==，
∴=，
AG=，
在△BGA中，由勾股定理得：BG==，
∵=，
∴GE=，
BE=+=2，
∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴BF=BE=，
∴FG=-=．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，勾股定理等，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力，題目比較好，綜合性比較強．