Question

（2012•濟寧）如圖，AD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥AB，DF∥AC，分別交AC、AB于點E和F．
（1）在圖中畫出線段DE和DF；
（2）連接EF，則線段AD和EF互相垂直平分，這是為什么？

Answer 1

分析：（1）根據題目要求畫出線段DE、DF即可；
（2）首先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再證明∠EAD=∠EDA，根據等角對等邊可得EA=ED，由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可證明四邊形AEDF是菱形，再根據菱形的性質可得線段AD和EF互相垂直平分．

解答：解（1）如圖所示；

（2）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠FAD=∠EAD，
∵AB∥DE，
∴∠FAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED（等角對等邊），
∴平行四邊形AEDF是菱形，
∴AD與EF互相垂直平分．

點評：此題主要考查了畫平行線，菱形的判定與性質，關鍵是掌握菱形的判定方法，判定四邊形為菱形可以結合菱形的性質證出線段相等，角相等，線段互相垂直且平分．