Question

如圖1，已知拋物線y=ax²-2ax+b經過梯形OABC的四個頂點，若BC=10，梯形OABC的面積為18．
（1）求拋物線解析式；
（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，平移后的兩條直線分別交拋物線于點O₁、A₁、C₁、B₁，得到如圖2的梯形O₁A₁B₁C₁．設梯形O₁A₁B₁C₁的面積為S，A₁、B₁的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．用含S的代數式表示x₂-x₁，并求出當S=36時點A₁的坐標；
（3）如圖3，設圖1中點D坐標為（1，3），M為拋物線的頂點，動點P從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點M時，P、Q兩點同時停止運動．設P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-2ax+b=a（x-1）²-a+b，
∴對稱軸為：直線x=1，
∴點A的坐標為（2，0）；
∵BC=10，梯形OABC的面積為18，
∴梯形OABC的高為：18×2÷（10+2）=3，
∴B（10÷2+1，3），即B（6，3），
C（1-10÷2，3），即C（-4，3）．
將O（0，0），B（6，3）代入y=ax²-2ax+b，
得，
解得，
∴拋物線解析式為：y=x²-x；

（2）由題意得y₂-y₁=3，y₂-y₁=x₂²-x₂-x₁²+x₁=3，
得：（x₂-x₁）[（x₂+x₁）-]=3①，
S==3（x₁+x₂）-6，
得：x₁+x₂=+2②，
把②代入①并整理得：x₂-x₁=（S＞0），
當s=36時，，
解得：，
把x₁=6代入拋物線解析式，得y₁=×6²-×6=3，
∴點A₁（6，3）；

（3）存在t=秒，可使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似．理由如下：
易知直線AB的解析式為y=x-，可得直線AB與對稱軸的交點E的坐標為（1，-），
∴BD=5，DE=，DP=5-t，DQ=t，
當PQ∥AB時，=，
即=，解得t=．
設直線PQ與直線AB、x軸的交點分別為點F、G．假設直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似．下面分兩種情況討論：
①當0＜t＜時，如圖3-1；
∵△FQE∽△FAG，
∴∠FGA=∠FEQ，
∴∠DPQ=∠DEB；
易得△DPQ∽△DEB，
∴，即=，
解得t=＞，
∴t=不合題意，舍去；
②當＜t＜3時，如圖3-2；
∵△FAG∽△FQE，
∴∠FAG=∠FQE，
∵∠DQP=∠FQE，∠FAG=∠EBD，
∴∠DQP=∠DBE，
易得△DPQ∽△DEB，
∴，即=，
解得t=，符合題意．
綜上，可知當t=秒時，直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似．
分析：（1）根據拋物線y=ax²-2ax+b，可知對稱軸方程，從而得到點A的坐標；再根據BC=10，梯形OABC的面積為18，可求B，C的坐標，再將O、B兩點的坐標代入y=ax²-2ax+b，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）在兩條直線平移的過程中，梯形的上下底發生了改變，但是梯形的高沒有變化，仍為3，即y₂-y₁=3，根據拋物線的解析式，用x₁、x₂表示出y₁、y₂，然后聯立y₂-y₁=3，可得到第一個關于x₁、x₂的關系式①；在兩條直線平移過程中，拋物線的對稱軸沒有變化，用x₁、x₂以及拋物線的對稱軸的解析式表示出梯形上下底的長，進而得到梯形面積的表達式，這樣得到另外一個x₁、x₂的關系式②，聯立這兩個關系式，得到關于（x₂-x₁）與S的關系式③，將S=36代入②③的關系式中，即可列方程組求得x₁、x₂的值，進而可求出點A₁的坐標；
（3）要解答此題，首先要弄清幾個關鍵點：
一、當PQ∥AB時，設直線AB與拋物線對稱軸的交點為E，可得△DPQ∽△DBE，可用t表示出DP、DQ的長，而E點坐標易求得，根據相似三角形所得比例線段，即可得到此時t的值即t=；
二、當P、Q都停止運動時，顯然BC＞DM，所以此時t=DM÷1=3．
設直線PQ與直線AB的交點為F，與x軸的交點為G；假設直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似．顯然t=不合題意，舍去，所以分兩種情況討論：①當0＜t＜時，由題意知△FQE∽△FAG，得∠FGA=∠FEQ，由于BC∥x軸，則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ，由此可證得△DPQ∽△DEB，DB、DE的長已求得，可用t表示出DP、DQ的長，根據相似三角形所得比例線段，即可求得此時t的值；
②當＜t＜3時，方法同①；
在求得t的值后，還要根據各自的取值范圍將不合題意的解舍去．
點評：本題考查了二次函數的綜合類試題，涉及到：二次函數解析式的確定、等腰梯形的性質、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質等重要知識；在（3）題中能夠正確地畫出圖形，并準確地找到所求的三角形是解答此題的關鍵．