Question

（2009•遼寧）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時他測得BD=8cm，∠ADB=30度．
（1）試探究線段BD與線段MF的關系，并簡要說明理由；
（2）小紅同學用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學繼續探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉得△AB₁D₁，AD₁交FM于點K（如圖2），設旋轉角為β（0°＜β＜90°），當△AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉角β的度數；
（3）若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖3），F₂M₂與AD交于點P，A₂M₂與BD交于點N，當NP∥AB時，求平移的距離是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學將其中一張繞點A順時針旋轉90°后得到矩形AMEF（如圖1），得BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進而可得∠DNM的大小．
（2）根據旋轉的性質得出結論．
（3）求平移的距離是A₂A的長度．在矩形PNA₂A中，A₂A=PN，只要求出PN的長度就行．用△DPN∽△DAB得出：，解得A₂A的大小．
解答：解：（1）BD=MF，BD⊥MF．（1分）
延長FM交BD于點N，
由題意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．（2分）
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．（3分）

（2）當AK=FK時，∠KAF=∠F=30°，
則∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②當AF=FK時，∠FAK==75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度數為60°或15°（答對一個得2分）（7分）

（3）由題意得矩形PNA₂A．設A₂A=x，則PN=x（如圖3），
在Rt△A₂M₂F₂中，∵F₂M₂=FM=8，
∴A₂M₂=4，A₂F₂=4，∴AF₂=4-x．
∵∠PAF₂=90°，∠PF₂A=30°，
∴AP=AF₂•tan30°=4-x．
∴PD=AD-AP=4-4+x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．（9分）
∴．（10分）
∴，解得x=6-2．（11分）
即A₂A=6-2．
答：平移的距離是（6-2）cm．（12分）
點評：考查旋轉的性質，相似三角形的判定，全等三角形的判定，平移的性質．