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(2006,重慶)如圖,在梯形ABCD中,ABDC,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.

(1)求證:DC=BC

(2)E是梯形內的一點,F是梯形外的一點,且∠EDC=∠FBCDE=BF,試判斷△ECF的形狀,并證明你的結論;

(3)在(2)的條件下,當BECE=1∶2,∠BEC=135°時,求sin∠BFE的值.

答案:略
解析:

(1)證明:過ADC的垂線AMDCM

AM=BC=2

tanADC=2

所以

因為MC=AB=1,所以DC=DMMC=2,即DC=BC

(2)△ECF是等腰直角三角形.

證明:因為DE=BF,∠EDC=FBCDC=BC

所以△DEC≌△BFC

所以CE=CF,∠ECB=FCB

ECF=BCF+∠BCE=ECD+∠BCE=BCD=90°,

即△ECF為等腰直角三角形.

(3)解:設BE=k,則CE=CF=2k,所以

因為∠BEC=135°,

又∠CEF=45°,所以∠BEF=90°,

所以

所以


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(1)當△AC1D1平移到如圖3所示的位置時,猜想圖中的D1E與D2F的數量關系,并證明你的猜想;
(2)設平移距離D2D1為x,△AC1D1與△BC2D2重疊部分面積為y,請寫出y與x的函數關系式,以及自變量的取值范圍;
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