Question

(2006，重慶)如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．

(1)求證：DC=BC；

(2)E是梯形內的一點，F是梯形外的一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結論；

(3)在(2)的條件下，當BE∶CE=1∶2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：過A作DC的垂線AM交DC于M． 則AM=BC=2， 又tan∠ADC=2， 所以． 因為MC=AB=1，所以DC=DM＋MC=2，即DC=BC． (2)△ECF是等腰直角三角形． 證明：因為DE=BF，∠EDC=∠FBC，DC=BC， 所以△DEC≌△BFC， 所以CE=CF，∠ECB=∠FCB， ∠ECF=∠BCF＋∠BCE=∠ECD＋∠BCE=∠BCD=90°， 即△ECF為等腰直角三角形． (3)解：設BE=k，則CE=CF=2k，所以． 因為∠BEC=135°， 又∠CEF=45°，所以∠BEF=90°， 所以， 所以．