Question

已知拋物線的解析式為y=-x²+2mx+4-m²．
（1）求證：不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個交點，且兩交點A、B之間的距離為定值；
（2）設點P為此拋物線上一點，若△PAB的面積為8，求符合條件的所有點P的坐標（可用含m的代數(shù)式表示）
（3）若（2）中△PAB的面積為s（s＞0），試根據(jù)面積s值的變化情況，確定符合條件的點P的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出△的值，再證出△＞0，再設出A、B的坐標，然后代入公式即可求出AB的長．
（2）本題需先設出P的坐標，再由題意得出b的值，然后即可求出符合條件的所有點P的坐標．
（3）本題需分當s=8時，當0＜s＜8時，當s＞8時三種情況進行討論，即可得出符合條件的點P的個數(shù)．

解答：解：（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個交點．
設A（x₁，0），B（x₂，0），
則|x1-x2|=|

-b+ b2-4ac

2a

-

-b- b2-4ac

2a

|=|

b2-4ac

a

|
=|

(2m)2-4×(-1)(4-m2)

-1

|=4；

（2）設P（a，b），則由題意b=-a²+2am+4-m²，且|

1

2

×4×b|=8，
解得b=±4．
當b=4時得：a=m．
即P（m，4）；
當b=-4時得：a=m±2

2

．即P(m+2

2

，-4)或P（m-2

2

，-4）；

（3）由（2）知當s=8時，符合條件的點P有2個，
知當0＜s＜8時，符合條件的點P有4個，
當知當s＞8時，符合條件的點P有2個．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，在解題時要綜合應用二次函數(shù)的圖象和性質以及分類討論思想是本題的關鍵．