Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C，且OA=1，OB=3，頂點為D，對稱軸交x軸于點Q．

（1）求拋物線對應的二次函數的表達式；

（2）點P是拋物線的對稱軸上一點，以點P為圓心的圓經過A、B兩點，且與直線CD相切，求點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）（3）點M的坐標為（1，）或（1，1）

【解析】試題分析： 求出用待定系數法即可求出拋物線的解析式.

設直線CD切⊙P于點E．連結PE、PA，作點．根據拋物線的解析式求出設 設 列出方程，求出的值.

分兩種情況進行討論即可.

試題解析：（1）

∴

代入 ，得

解得　

∴拋物線對應二次函數的表達式為：

（2）如圖，設直線CD切⊙P于點E．連結PE、PA，作點．

由 得對稱軸為直線x=1，

∴

∴

∴為等腰直角三角形．

∴

∴

∴

∴為等腰三角形．

設

∴

在中，

∴

∴

整理，得

解得，

∴點P的坐標為 或

（3）存在點M，使得∽．

如圖，連結

∵

∴為等腰直角三角形，

∴

由（2）可知，

∴

∴分兩種情況．

當 時，

∴，解得．

∴

∴

當時，

∴，解得

∴

∴

綜上，點M的坐標為或