Question

如圖，已知∠ABC=90°，AB=BC．直線l與以BC為直徑的圓O相切于點C．點F是圓O上異于B、C的動點，直線BF與l相交于點E，過點F作AF的垂線交直線BC與點D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的長；
（2）證明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求動點F在什么位置時，相應的點D位于線段BC的延長線上，且使BC=

3

CD，請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由直線l與以BC為直徑的圓O相切于點C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，則可證得△CEF∽△BEC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EF的長；
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根據同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，則可證得△CDF∽△BAF；
②由△CDF∽△BAF與△CEF∽△BCF，根據相似三角形的對應邊成比例，易證得

CD

BA

=

CE

BC

，又由AB=BC，即可證得CD=CE；
（3）由CE=CD，可得BC=

3

CD=

3

CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度數，則可得F在⊙O的下半圓上，且

BF

=

2

3

BC

．

解答：（1）解：∵直線l與以BC為直徑的圓O相切于點C．
∴∠BCE=90°，
又∵BC為直徑，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴

CE

BE

=

EF

CE

，
∵BE=15，CE=9，
即：

9

15

=

EF

9

，
解得：EF=

27

5

；

（2）證明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠FCD，
同理：∠AFB=∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴

CF

BF

=

CD

BA

，
又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴

CF

BF

=

CE

BC

，
∴

CD

BA

=

CE

BC

，
又∵AB=BC，
∴CE=CD；

（3）解：∵CE=CD，
∴BC=

3

CD=

3

CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE=

CE

BC

=

1

3

，
∴∠CBE=30°，
故

CF

為60°，
∴F在直徑BC下方的圓弧上，且

BF

=

2

3

BC

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，圓的切線的性質，圓周角的性質以及三角函數的性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．