Question

將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長為20cm，點O為正方形的中心，AB=5cm，則CD長為（ ）

A．10cm
B．15cm
C．20cm
D．30cm

Answer 1

【答案】分析：由三個角為直角的四邊形為矩形得到OBEC為矩形，然后根據O為正方形的中心，得到EO為角CEB的平分線，又OC垂直于EC，OB垂直于EB，根據角平分線定理得到OC=OB，故四邊形OBEC為正方形，且邊長為大正方形邊長的一半，由大正方形的邊長求出正方形OBEC的邊長，即可得到CE即OB的長，由EC與OB平行，得到兩對同位角相等，由兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形DCE與三角形DOA相似，根據相似得比例，即可求出CD的長．
解答：解：如圖，
∵OC⊥CE，OB⊥EB，
∴∠OCE=∠OBE=90°，又∠CEB=90°，
∴OBEC為矩形，
∵點O為正方形的中心，
∴EO平分∠CEB，又OC⊥CE，OB⊥EB，
∴OC=OB，
∴四邊形BOCE是正方形，CE=OB=20÷2=10cm，
∵CE∥AO，
∴∠CED=∠BAE，又∠DCE=∠EBA=90°，
∴△DCE∽△DOA，
∴，
即 ，
解得DC=20cm．
故選C
點評：本題主要考查正方形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質．其中正方形各邊都相等，每個角都是直角的性質和相似三角形對應邊成比例的性質，需要熟練掌握并靈活運用．