Question

如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，，經過這個三角形重心的直線DE∥BC，分別交邊AB、AC于點D和點E，P是線段DE上的一個動點，過點P分別做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分別為點M、F、G．設BM=x，四邊形AFPG的面積為y．
（1）求PM的長；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）連接MF、MG，當△PMF與△PMG相似時，求BM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AN⊥BC于點N，交DE于點H，則點H為△ABC的重心，由重心的性質即可求出HE的長度，也即得出PM的長度；
（2）過點D作DI⊥BC于I，表示出DP、PE，繼而表示出FP、PG，從而得出y關于x的函數解析式，也可得出x的取值范圍；
（3）因為兩三角形有公共邊，分兩種情況討論，①△PMF≌△PMG，②△PMF∽△PGM，分別求出x的值即可．
解答：解：（1）過點A作AN⊥BC于點N，交DE于點H，則點H為△ABC的重心，

由題意得△ABC是等腰直角三角形，
故AN=BC=3，
由重心的性質可得：=2，
∴==，
故HN=AN=1，DE=4，
即可得PM的長為1．

（2）過點D作DI⊥BC于I，過點E作EK⊥BC于點K，

則BI=DI=PM=1，
設BM=x，則IM=DP=x-1，PE=4-DP=5-x，
易得△FDP、△GPE均為等腰直角三角形，
∴PF=，PG=，
則y=PF×PG=×=（x-1）（5-x）=，
由圖形可得點M處于I-K之間，故可得：1＜x＜5．
綜上可得y=，（1＜x＜5）．

（3）①當△PMF≌△PMG時，此時點P與點H重合，BM=BN=3；
②當△PMF∽△PGM時，=，即=，
整理得：=，
解得x=3±．
綜上可得當△PMF與△PMG相似時，求BM的長為3，3±．
點評：本題考查了相似形綜合題，涉及了等腰直角三角形的性質、矩形的面積及三角形重心的性質，注意結合圖形進行解答，觀察圖形得出點M運動的范圍，難度較大．