Question

如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形．連接AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形．
（1）如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發現：當四邊形ABCD的對角線滿足AC=BD時，四邊形EFGH為菱形．
當四邊形ABCD的對角線滿足

 

時，四邊形EFGH為矩形；
當四邊形ABCD的對角線滿足

 

時，四邊形EFGH為正方形；
（2）探索三角形AEH、三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關系，請寫出你發現的結論，并加以證明；
（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點四邊形EFGH的面積是多少？

Answer 1

分析：（1）若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH=EF，而EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，故應有AC=BD．
（2）由相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．（3）由（2）可得S_?EFGH=

1

2

S_{四邊形ABCD}=1

解答：解：（1）若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；
若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH=EF，而EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，故應有AC=BD．

（2）S_△AEH+S_△CFG=

1

4

S_{四邊形ABCD}．
證明：在△ABD中，
∵EH=

1

2

BD，
∴△AEH∽△ABD．
∴

S△AEH

S△ABD

=(

EH

BD

)2=

1

4

．
即S_△AEH=

1

4

S_△ABD
同理可證：S_△CFG=

1

4

S_△CBD
∴S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_{四邊形ABCD}．

（3）由（2）可知S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
同理可得S_△BEF+S_△DHG=

1

4

（S_△ABC+S_△CDA）=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
故S_?EFGH=

1

2

S_{四邊形ABCD}=1．

點評：本題考查了三角形的中位線的性質及特殊四邊形的判定和性質，相似三角形的性質．