Question

（2013•成都）如圖，A，B，C為⊙O上相鄰的三個n等分點，

AB

=

BC

，點E在

BC

上，EF為⊙O的直徑，將⊙O沿EF折疊，使點A與A′重合，點B與B′重合，連接EB′，EC，EA′．設EB′=b，EC=c，EA′=p．現探究b，c，p三者的數量關系：發現當n=3時，p=b+c．請繼續探究b，c，p三者的數量關系：當n=4時，p=

c+

2

b

；當n=12時，p=

c+

6 + 2

2

b

．
（參考數據：sin15°=cos75°=

6 - 2

4

，cos15°=sin75°=

6 + 2

4

）

Answer 1

分析：如解答圖所示，作輔助線，構造相似三角形．首先，在AE上取一點D，使ED=EC，連接CD，則△ABC與△CED為頂角相等的兩個等腰三角形，所以△ABC∽△CED，得到

AC

BC

=

CD

EC

；其次，證明△ACD∽△BCE，得到

DA

EB

=

AC

BC

；由EA=ED+DA，整理得到p的通項公式為：p=c+2cos

180

n

•b．將n=4，n=12代入，即可求得答案．

解答：解：如解答圖所示，連接AB、AC、BC．
由題意，點A、B、C為圓上的n等分點，
∴AB=BC，∠ACB=

1

2

×

360

n

=

180

n

（度）．
在等腰△ABC中，過頂點B作BN⊥AC于點N，
則AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos

180

n

•BC，
∴

AC

BC

=2cos

180

n

．
連接AE、BE，在AE上取一點D，使ED=EC，連接CD．
∵∠ABC=∠CED，
∴△ABC與△CED為頂角相等的兩個等腰三角形，
∴△ABC∽△CED．
∴

AC

BC

=

CD

EC

，∠ACB=∠DCE．
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD與△BCE中，
∵

AC

BC

=

CD

EC

，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE．
∴

DA

EB

=

AC

BC

，
∴DA=

AC

BC

•EB=2cos

180

n

•EB．
∴EA=ED+DA=EC+2cos

180

n

•EB．
由折疊性質可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC．
∴p=c+2cos

180

n

•b．
當n=4時，p=c+2cos45°•b=c+

2

b；
當n=12時，p=c+2cos15°•b=c+

6 + 2

2

b．
故答案為：c+

2

b，c+

6 + 2

2

b．

點評：本題是幾何綜合題，難度很大．解決本題，需要綜合運用圓、相似三角形、等腰三角形、三角函數、折疊性質等多個知識點，對幾何綜合能力要求很高．本題解答過程中，求得p的通項公式：p=c+2cos

180

n

•b，這樣的結果更具普遍性；也可以按照題中要求，對于4等分或12等分的情況分別求解．